Article
Поделиться:

Oddiy differentsial tenglamalarni taqribiy yechish usullari


Jizzax viloyati Zarbdor tumani 1- maktab Matematika fani oʻqituvchisi

Ibragimov Rustamjon Maxamadjanovich 

 

 

Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu hollarda echimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan echimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi. Masalan, ketma – ket differentsiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p hadlarini hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakab integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni echishda echimlarni formula ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish qulay bo`ladi. Differenuial tenglamalarni raqamli usullar bilan echganda echimlar jadval ko`rinishida olinadi. Amaliy masalalarni echishda ko`p qo`llaniladigan eyler va Runge – Kutta usullarini ko`rib chiqamiz.

Eyler usuli. Quyidagi 

                                                                   (1)

birinchi tartibli differentsial tenglamaning [a,b] kesmada boshlang’ich shart x=x0 bo`lgan hol uchun y=y0 ni qanoatlantiruvchi echimi topilishi lozim bo`lsin. [a,b] kesmani x, x1,  x2 ,…, xn nuqtalar bilan n ta teng bo`lakchalarga ajratamiz; bunda  (i= 0,1,2,…n),  - qadam. 

         (1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo`lgan biror [xk, xk+1] kesmada integrallasak, 

                             

ya`ni, 

                                                           (2)

Bu erda integral ostidagi funktsiyani x=xk nuqtada boshlang’ich o`zgarmas qiymatiga teng deb qabul qilinsa, quyidagini hosil qilamiz:

                            

U holda (2) dan

                                                                       (3)

  ya`ni   deb belgilasak, 

                                                                       (4)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo`lgan har bir kesmacha uchun takrorlab, (1) ning echimini ifodalovchi jadvalini to`zamiz. eyler usulining geometrik ma`nosi shundayki, bunda (1) ning echimini ifodalovchi integral egri chiziq siniq (II) chiziqlar bilan almashtiriladi (10 - rasm). 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 – rasm

 

Quyidagi tizim

                                                              (5)

uchun

                   x=x0  da  y=y, z=z0                                   (6)

boshlang’ich shart berilgan. (5) ning taqribiy echimlari quyidagi formulalar orqali topiladi:

                   

bu erda

                  

         Misol.  eyler   usuli yordamida differentsial  tenglamaning   [0,1]  kesmada  olingan va u(0)=1 boshlang’ich  shartni qanotlantiruvchi  u(x) echimining taqribiy qiymatlarini  h=0,2 qadam bilan  toping.

         Echish:

                    

Quyidagi  hisoblash   jadvalini  to`zamiz.

 

1- qator . 

 i=0,  

                   

2-qator.

          i=1 ,      

                   

 

 va xakazo i=2,3,4,5lar  uchun   hisoblanadi.

 

i





0

0,1

1,0000

1,0000

0,200

1

0,2

1,2000

0,8667

0,1733

2

0,4

1,3733

0,7908

0,1582

3

0,6

1,5315

0,7480

0,1496

4

0,8

1,6811

0,7293

0,1459

5

1,0

1,8270

 

 

 

 

 

         Runge - Kutta usuli ko`p jihatdan Eyler usuliga o`xshash, ammo aniqlik darajasi eyler usuliga nisbatan yuqori bo`lgan usullardan biridir.                          

Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni echish juda qulay. CHunki, bu usul orqali noma`lum funktsiyaning xi+1  dagi qiymatini topish uchun uning  xi dagi qiymati aniq bo`lishi etarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko`ra bir necha turlarga bo`linadi. Shulardan amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigani to`rtinchi daraja aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir.

Birinchi tartibli y=f(x,y) differentsial tenglama uchun x=xi (i=0,1,2,…n) y=yi ma`lum bo`lsin. Bu erda yi boshlang’ich shart ma`nosida bo`lmasligi ham mumkin. Noma`lum funktsiya y ning x=xi+1 dagi qiymati yi+1=yi+1(x) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo`ladi:

                     (7)

bu erda 

                               (8)

 

 i=0,1,2,…,n-1,     - integrallash qadami. 

Tenglamaning echimi qidirilayotgan [a,b] kesma    (i=0,1,2,…,n) nuqtalar bilan o`zaro teng n ta bo`lakka bo`lingan. i ning ha bir  qiymati uchun  (7) va (8) dagi amallarni bajaramiz va noma`lum funktsiya y ning qiymatlarini (tenglamaning echimini) quyidagi formuladan topamiz:

                 (9)

 

Misol: Runge-Kutta usuli bilan tenglamaning [1,8; 2,8] kesmada aniqlangan va u(1,8)=2,6 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi  echimini h=0,1 qadam bilan  hisoblang.

Echish:

         f(x,y)=x+cos(

                 

,

,

,

    

 

va   hokazo. 

 

Qiymatlar jadvali

 

      i

0

1

2

3

4

5


1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3


2,6

2,0259

3,0408

3,2519

3,4861

3,4861

I

6

7

8

9

10

 


2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

 


3,9260

4,1478

4,3700

4,5971

4,9172

 

 

 
 

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI

 

1.     Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003

2.     Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari»,   T., "O`zbekiston", 1997

3.     Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv qo`llanma. Toshkent 2000.

4.     Abduqodirov A.A. «Hisoblash  matematikasi va programmalash», Toshkent. "O`qituvchi" 1989.

5.     Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel’noy matematike» M. VSh. 1990.

6.     Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va laboratoriya ishlari», T.1995.

7.     Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma. T.2001. 

8.     Internet ma`lumotlarini olish mumkin bo`lgan saytlar:

www.exponenta.ru 

www.lochelp.ru

www.math.msu.su

www.colibri.ru

www.ziyonet.uz

 

Calendar

«    Июнь 2024    »
ПнВтСрЧтПтСбВс
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Popular

img
Kasrlar haqida tushuncha
5-03-2023, 20:34
img
Wear culture
23-01-2023, 18:14